【第五章 高等数学】定积分
本文涉及知识点
预备知识
证明：
lim
a
→
∞
a
x
=
∞
,
x
>
0
\lim\limits_{a \to \infty}a^x=\infty,x>0
a→∞limax=∞,x>0
令
x
0
→
0
+
,
∀
M
，
A
=
M
1
x
0
x0\to 0^+,\forall M，A=M^{\frac 1 {x0}}
x0→0+,∀M，A=Mx01
a=A 式，左式子=M。
由于
a
x
0
a^{x0}
ax0是单调递增，a是变量，故a>A时，左式>M。故
x
→
0
+
时
x \to 0^+时
x→0+时趋于无穷大。
由于
a
x
,
x
>
0
a^x,x>0
ax,x>0可以看成若干个无穷大相乘，得证。
a
x
的导数为正，故单调递增。
(
a
0
+
)
′
=
0
+
a
−
1
+
>
0
a^x的导数为正，故单调递增。(a^{0^+})'=0^+ a^{-1+}>0
ax的导数为正，故单调递增。(a0+)′=0+a−1+>0
第一节 定积分的概念和性质
一，定积分问题举例
1，曲边梯形的面积
设y=f(x)在区间[a,b]非负且连续，由直线x=a,x=b,y=0及曲线y=f(x)所围成的图形称为曲边梯形，其中曲线弧称为曲边。由于连续，故对于任意容差
ϵ
\epsilon
ϵ,任意x，
∃
Δ
,
∣
f
(
x
)
−
f
(
x
+
Δ
)
∣
<
ϵ
\exist \Delta,|f(x)-f(x+\Delta)|<\epsilon
∃Δ,∣f(x)−f(x+Δ)∣<ϵ,故我们将曲线梯形划分成无数个宽度为
Δ
\Delta
Δ的平行于y轴的细长矩形。
故曲边梯形的近似面积为：
lim
n
→
∞
∑
i
:
0
n
−
1
f
(
a
+
Δ
×
i
)
Δ
,
Δ
=
b
−
a
n
\lim\limits_{n \to \infty}\sum_{i:0}^{n-1} f(a+\Delta\times i)\Delta,\Delta=\frac {b-a}{n}
n→∞lim∑i:0n−1f(a+Δ×i)Δ,Δ=nb−a
2,变速直线运动的路程
设某物体做直线运动，已知速度v=v(t)是时间间隔[T1,T2]上t的连续函数，且v(t)>=0，计算这段时间内物体经过的路程。路程就是曲面梯形的面积。如果v(t)可能小于0，则路程是有向面积。
定积分的定义
设函数f(x)在[a,b]上有界，且[a,b]中任意插入若干个分点
a
=
x
0
<
x
1
<
⋯
<
x
n
−
1
<
x
n
=
b
a=x_0<x_1<\cdots <x_{n-1}<x_n=b
a=x0<x1<⋯<xn−1<xn=b
把[a,b]分成若干个小区间：
[
x
0
,
x
1
]
,
[
x
1
,
x
2
]
,
⋯
,
[
x
n
−
1
,
x
n
]
[x_0,x_1],[x_1,x_2],\cdots,[x_{n-1},x_n]
[x0,x1],[x1,x2],⋯,[xn−1,xn]
各小区间的长度分别为：
Δ
x
1
=
x
1
−
x
0
,
Δ
x
2
=
x
2
−
x
1
⋯
Δ
x
n
=
x
n
−
x
n
−
1
\Delta x_1=x_1-x_0,\Delta x_2=x_2-x_1\cdots \Delta x_n=x_n-x_{n-1}
Δx1=x1−x0,Δx2=x2−x1⋯Δxn=xn−xn−1
在各小区间
[
x
i
−
1
,
x
i
]
上任取一点
ξ
(
x
i
−
1
≤
ξ
≤
x
i
)
,
作函数值
f
(
ξ
)
与小区间长度
Δ
x
i
的乘积
f
(
ξ
i
)
Δ
x
i
(
i
=
1
,
2
⋯
n
)
[x_{i-1},x_i]上任取一点\xi(x_{i-1} \le \xi \leq x_i),作函数值f(\xi)与小区间长度\Delta x_i的乘积f(\xi_i)\Delta x_i(i=1,2\cdots n)
[xi−1,xi]上任取一点ξ(xi−1≤ξ≤xi),作函数值f(ξ)与小区间长度Δxi的乘积f(ξi)Δxi(i=1,2⋯n)，并作出和。
S
=
∑
i
:
1
n
f
(
ξ
i
)
Δ
x
i
S=\sum_{i:1}^{n}f(\xi_i)\Delta x_i
S=∑i:1nf(ξi)Δxi
记
λ
=
max
Δ
x
1
,
Δ
x
2
,
⋯
,
Δ
x
n
\lambda=\max{\Delta x_1,\Delta x_2,\cdots,\Delta x_n}
λ=maxΔx1,Δx2,⋯,Δxn,如果当
λ
→
0
\lambda \to 0
λ→0,这和的极限总存在，且与闭区间[a,b]的分法及
ξ
i
\xi_i
ξi的取法无关，那么这个极限I为函数f(x)在区间[a,b]的定积分（简称积分)，记作
∫
a
b
f
(
x
)
d
x
\int _{a}^{b}f(x)dx
∫abf(x)dx。即：
lim
λ
→
0
∑
i
:
1
n
f
(
ξ
i
)
Δ
x
i
\lim\limits_{\lambda\to 0}\sum_{i:1}^{n}f(\xi_i)\Delta x_i
λ→0lim∑i:1nf(ξi)Δxi
定理1 设f(x)在区间[a,b]上连续，则f(x)在[a,b]上可积。
定理2：设f(x)在区间[a,b]上有界，且只有有限各间断点，则f(x)在[a,b]上可积。
三 定积分的计算
矩形法手工算，过于复杂。
四，定积分的性质
当a=b时，
∫
b
a
f
(
x
)
d
x
=
0
\int^a_bf(x)dx=0
∫baf(x)dx=0
当
a
≠
b
,
∫
a
b
f
(
x
)
d
x
=
−
∫
b
a
f
(
x
)
d
x
a\neq b,\int^b_af(x)dx=-\int^a_bf(x)dx
a=b,∫abf(x)dx=−∫baf(x)dx
性质1：当
α
,
β
均为常数
\alpha,\beta均为常数
α,β均为常数
∫
a
b
[
α
f
(
x
)
+
β
g
(
x
)
]
d
x
=
α
∫
a
b
f
(
x
)
d
x
+
β
∫
a
b
g
(
x
)
d
x
\int^b_a[\alpha f(x)+\beta g(x)]dx=\alpha\int^b_a f(x)dx+\beta \int^b_a g(x)dx
∫ab[αf(x)+βg(x)]dx=α∫abf(x)dx+β∫abg(x)dx
性质2：设a<c<b，则：
∫
a
b
f
(
x
)
d
x
=
∫
a
c
f
(
x
)
d
x
+
∫
c
b
f
(
x
)
d
x
\int^b_af(x)dx=\int^c_af(x)dx+\int^b_cf(x)dx
∫abf(x)dx=∫acf(x)dx+∫cbf(x)dx
不论a,b,c的相对位置如何，性质2都成立。
性质3：如果在区间[a,b]上f(x)
≡
1
\equiv 1
≡1，那么
∫
a
b
1
d
x
=
b
−
a
\int^b_a1dx=b-a
∫ab1dx=b−a
性质4：如果在区间[a,b]上
f
(
x
)
≥
0
f(x) \ge 0
f(x)≥0，那么：
∫
a
b
f
(
x
)
d
x
≥
0
(
a
<
b
)
\int^b_af(x)dx \ge 0 (a<b)
∫abf(x)dx≥0(a<b)
推论1：如果在区间[a,b]上
f
(
x
)
≤
g
(
x
)
f(x) \le g(x)
f(x)≤g(x),那么
∫
a
b
f
(
x
)
d
x
≤
∫
a
b
g
(
x
)
d
x
(
a
<
b
)
\int^b_af(x)dx \le \int^b_a g(x)dx (a<b)
∫abf(x)dx≤∫abg(x)dx(a<b)
推论2：
∣
∫
a
b
f
(
x
)
d
x
∣
≤
∫
a
b
∣
f
(
x
)
∣
d
x
|\int^b_a f(x)dx|\le \int^b_a|f(x)|dx
∣∫abf(x)dx∣≤∫ab∣f(x)∣dx
性质5：设M及m分别是函数f(x)在区间[a,b]上的最大值及最小值，则：
m
(
b
−
a
)
≤
∫
a
b
f
(
x
)
d
x
≤
M
(
b
−
a
)
(
a
<
b
)
m(b-a) \le \int^b_af(x)dx\le M(b-a) (a<b)
m(b−a)≤∫abf(x)dx≤M(b−a)(a<b)
性质6（定积分中值定理)：如果函数f(x)在积分区间[a,b]上连续，那么[a,b]上至少存在一个点
ξ
\xi
ξ，使得下式成立：
∫
a
b
f
(
x
)
d
x
=
f
(
ξ
)
(
b
−
a
)
,
(
a
≤
ξ
≤
b
)
\int^b_af(x)dx=f(\xi)(b-a),(a\le \xi \le b)
∫abf(x)dx=f(ξ)(b−a),(a≤ξ≤b)
第二节 微积分的基本公式
第一部分比较简单，略。
二，积分上限的函数及其导数
定理1：如果函数f(x)在区间[a,b]上连续，那么积分上限的函数
ϕ
=
∫
a
x
f
(
t
)
d
t
\phi=\int^x_af(t)dt
ϕ=∫axf(t)dt
在[a,b]上可导，并且它的导数是：
ϕ
′
(
x
)
=
d
d
x
∫
a
x
f
(
t
)
d
t
=
f
(
x
)
\phi'(x)=\frac d {dx}\int^x_af(t)dt=f(x)
ϕ′(x)=dxd∫axf(t)dt=f(x)
定理2： 如果函数f(x)在区间[a,b]上连续，那么函数
ϕ
(
x
)
=
∫
a
x
f
(
t
)
d
t
\phi(x)=\int^x_af(t)dt
ϕ(x)=∫axf(t)dt就是f(x)在[a,b]上的一个原函数。
扩展：
ϕ
(
x
)
∫
g
(
x
)
h
(
x
)
f
(
t
)
d
t
\phi(x)\int_{g(x)}^{h(x)}f(t)dt
ϕ(x)∫g(x)h(x)f(t)dt，则积分上限函数的导函数为：
f
(
h
(
x
)
)
h
′
(
x
)
−
f
(
g
(
x
)
)
g
′
(
x
)
f(h(x))h'(x)-f(g(x))g'(x)
f(h(x))h′(x)−f(g(x))g′(x)
三，牛顿-莱布尼茨公式
定理3（微积分基本定理) 如果函数F(x)是连续函数f(x)在区间[a,b]的一个原函数，那么： ∫ a b f ( x ) = F ( b ) − F ( a ) \int^b_af(x)=F(b)-F(a) ∫abf(x)=F(b)−F(a)
例8:求
lim
x
→
0
∫
cos
x
−
1
e
−
t
2
d
t
x
2
\lim\limits_{x\to 0}\frac{\int_{\cos x}^{-1}e^{-t^2}dt}{x^2}
x→0limx2∫cosx−1e−t2dt
解：
0
0
型
\frac 0 0型
00型，用洛必达法则。
分子=
−
∫
1
cos
x
e
−
t
2
d
t
-\int_1^{\cos x}e^{-t^2}dt
−∫1cosxe−t2dt 利用积分上限函数，则
f
(
x
)
=
e
−
x
2
,
g
(
x
)
=
1
,
g
′
(
x
)
=
0
,
h
(
x
)
=
cos
x
,
h
′
(
x
)
=
−
sin
x
f(x)=e^{-x^2},g(x)=1,g'(x)=0,h(x)=\cos x,h'(x)=-\sin x
f(x)=e−x2,g(x)=1,g′(x)=0,h(x)=cosx,h′(x)=−sinx
故分子的导数为：
0
−
e
−
cos
2
x
(
−
sin
x
)
=
e
−
cos
2
x
sin
x
0 - e^{-\cos^2x}(-\sin x)=e^{-\cos^2x}\sin x
0−e−cos2x(−sinx)=e−cos2xsinx
当
x
→
0
时，分子的导数为
e
−
1
sin
x
x\to 0时，分子的导数为e^{-1}\sin x
x→0时，分子的导数为e−1sinx,分母的导数为：
2
x
2x
2x，抵消等价无穷小。
原式=
1
2
e
\frac 1 {2e}
2e1。
第三节 定积分的换元法和分部积分法
一 定积分的换元法
例1：计算
∫
0
a
a
2
−
x
2
d
x
(
a
>
0
)
\int^a_0\sqrt{a^2-x^2}dx(a>0)
∫0aa2−x2dx(a>0)
解：设
x
=
a
sin
t
,
则
d
x
=
a
cos
t
d
t
x=a\sin t,则dx=a\cos t dt
x=asint,则dx=acostdt
当x=0时，t=0;当x=a，t=
π
2
\frac {\pi} 2
2π
原式=
∫
0
π
÷
2
a
2
−
a
2
sin
2
t
a
cos
t
d
t
=
a
2
cos
2
t
d
t
\int^{\pi \div 2}_0\sqrt{a^2-a^2\sin^2t}a\cos t dt=a^2\cos ^2tdt
∫0π÷2a2−a2sin2tacostdt=a2cos2tdt
=
a
2
2
∫
0
π
÷
2
(
cos
2
t
+
1
)
d
t
\frac{a^2}2\int^{\pi \div 2}_0(\cos 2t+1)dt
2a2∫0π÷2(cos2t+1)dt
=
a
2
4
i
n
t
0
π
÷
2
cos
2
t
d
2
t
+
a
2
2
i
n
t
0
π
÷
2
d
t
\frac{a^2}4int^{\pi \div 2}_0\cos 2td2t+\frac{a^2}2int^{\pi \div 2}_0dt
4a2int0π÷2cos2td2t+2a2int0π÷2dt
=
a
2
2
[
1
2
sin
2
t
+
t
]
0
π
÷
2
\frac {a^2}2[\frac 1 2 \sin 2t + t]^{\pi \div 2}_0
2a2[21sin2t+t]0π÷2
=
π
a
a
4
\frac{\pi a^a} 4
4πaa
例2：计算
∫
0
π
÷
2
cos
5
x
sin
x
d
x
\int^{\pi \div 2}_0\cos^5x\sin xdx
∫0π÷2cos5xsinxdx
解设
t
=
cos
x
t=\cos x
t=cosx，则
d
t
=
−
sin
x
d
x
dt=-\sin xdx
dt=−sinxdx
当x=0时，t=1;当x=
π
÷
2
，
t
=
0
\pi\div 2，t=0
π÷2，t=0
于是原式=
−
∫
1
0
t
5
d
t
=
[
t
6
6
]
0
1
=
1
6
-\int^0_1t^5dt=[\frac {t^6}{6}]^1_0=\frac 1 6
−∫10t5dt=[6t6]01=61
如果不用中间变量替换，则无需变换上下限。
原式=
−
∫
0
π
÷
2
c
o
s
5
x
d
(
cos
x
)
=
−
[
cos
6
x
6
]
0
π
÷
2
=
1
6
-\int^{\pi \div 2}_0cos^5xd(\cos x)=-[\frac {\cos^6x}6]^{\pi \div 2}_0=\frac 1 6
−∫0π÷2cos5xd(cosx)=−[6cos6x]0π÷2=61
例3：计算
∫
0
π
sin
5
x
−
sin
3
x
d
x
\int^{\pi}_0\sqrt{\sin^5x-\sin^3x}dx
∫0πsin5x−sin3xdx
微分函数=
sin
3
2
x
∣
cos
x
∣
\sin^{\frac 3 2}x|\cos x|
sin23x∣cosx∣
原式=
∫
0
π
÷
2
sin
3
2
x
d
(
sin
x
)
−
∫
π
÷
2
π
sin
3
2
x
d
(
sin
x
)
\int^{\pi \div 2}_0\sin^{\frac 3 2}xd(\sin x)-\int^{\pi}_{\pi \div 2}\sin^{\frac 3 2}xd(\sin x)
∫0π÷2sin23xd(sinx)−∫π÷2πsin23xd(sinx)
=
[
2
5
sin
2
5
x
]
0
π
÷
2
−
[
2
5
sin
2
5
x
]
π
÷
2
π
[\frac 2 5\sin^{\frac 2 5}x]^{\pi \div 2}_0-[\frac 2 5\sin^{\frac 2 5}x]^{\pi}_{\pi \div 2}
[52sin52x]0π÷2−[52sin52x]π÷2π
=
4
5
\frac 4 5
54
例6：设f(x)在[0,1]上连续，证明：
（1),
∫
0
π
÷
2
f
(
sin
x
)
d
x
=
∫
0
π
÷
2
f
(
cos
x
)
d
x
\int_0^{\pi \div 2}f(\sin x)dx=\int_0^{\pi \div 2}f(\cos x)dx
∫0π÷2f(sinx)dx=∫0π÷2f(cosx)dx
（2),
∫
0
π
x
f
(
sin
x
)
d
x
=
π
2
∫
0
π
f
(
sin
x
)
d
x
\int_0^{\pi}xf(\sin x)dx=\frac {\pi} 2\int_0^{\pi}f(\sin x)dx
∫0πxf(sinx)dx=2π∫0πf(sinx)dx,计算
∫
0
π
x
sin
x
1
+
cos
2
x
d
x
\int_0^{\pi}\frac{x\sin x}{1+\cos^2 x}dx
∫0π1+cos2xxsinxdx
解(1)，令t=
π
÷
2
−
x
，
d
t
=
−
d
x
。
x
=
0
,
t
=
π
÷
2
;
x
=
π
/
2
,
t
=
0
\pi \div 2 -x，dt=-dx。x=0,t=\pi \div 2;x=\pi/2 ,t=0
π÷2−x，dt=−dx。x=0,t=π÷2;x=π/2,t=0
原始=
∫
π
÷
2
0
f
(
sin
(
π
÷
2
−
t
)
)
d
(
−
t
)
=
∫
0
π
÷
2
f
(
cos
t
)
d
t
\int_{\pi \div 2}^0f(\sin(\pi \div 2-t))d(-t)=\int_0^{\pi \div 2}f(\cos t)dt
∫π÷20f(sin(π÷2−t))d(−t)=∫0π÷2f(cost)dt得证。
解(2)，令
t
=
π
−
x
,
d
t
=
−
d
x
。
x
=
0
,
t
=
π
;
x
=
π
,
t
=
0
t =\pi-x,dt=-dx。x=0,t=\pi;x=\pi,t=0
t=π−x,dt=−dx。x=0,t=π;x=π,t=0
原式=
∫
π
0
(
π
−
t
)
f
(
sin
(
π
−
t
)
)
−
d
t
=
∫
0
π
(
π
−
t
)
f
(
sin
t
)
d
t
\int_{\pi}^0(\pi-t)f(\sin (\pi -t))-dt=\int_0^{\pi}(\pi-t)f(\sin t)dt
∫π0(π−t)f(sin(π−t))−dt=∫0π(π−t)f(sint)dt
=
π
∫
0
π
f
(
sin
t
)
d
t
−
∫
0
π
t
f
(
sin
t
)
d
t
\pi\int_0^{\pi}f(\sin t)dt-\int_0^{\pi}tf(\sin t)dt
π∫0πf(sint)dt−∫0πtf(sint)dt
=
π
∫
0
π
f
(
sin
x
)
d
x
−
∫
0
π
t
f
(
sin
x
)
d
x
\pi\int_0^{\pi}f(\sin x)dx-\int_0^{\pi}tf(\sin x)dx
π∫0πf(sinx)dx−∫0πtf(sinx)dx用t代替x，积分不变。第二项，就是原来得左式
故：原来得左式=
π
2
f
(
sin
x
)
d
x
\frac \pi 2f(\sin x)dx
2πf(sinx)dx得证。
待计算式子得f(x)为：
sin
x
2
−
sin
2
x
\frac {\sin x} {2-\sin ^2 x}
2−sin2xsinx
∫
0
π
sin
x
2
−
sin
2
x
d
x
=
−
∫
0
π
d
(
cos
x
)
1
+
cos
2
x
\int_0^{\pi}\frac {\sin x} {2-\sin ^2 x}dx=-\int_0^{\pi}\frac {d(\cos x)} {1+\cos^2 x}
∫0π2−sin2xsinxdx=−∫0π1+cos2xd(cosx)
=
−
π
2
[
arctan
cos
x
]
0
π
-\frac{\pi} 2[\arctan \cos x]_0^{\pi}
−2π[arctancosx]0π
=
−
π
2
[
−
π
4
−
π
4
]
-\frac{\pi}2[-\frac {\pi} 4-\frac {\pi} 4]
−2π[−4π−4π]
=
π
2
÷
4
\pi^2 \div 4
π2÷4
例8：计算
∫
0
3
x
2
(
x
2
−
3
x
+
3
)
2
d
x
\int_0^3\frac{x^2}{(x^2-3x+3)^2}dx
∫03(x2−3x+3)2x2dx
分母=
(
(
x
−
3
2
)
2
+
3
4
)
2
,
令
x
−
3
2
=
3
2
tan
u
(
∣
u
∣
<
π
2
)
((x-\frac 3 2)^2+\frac 3 4)^2,令x-\frac 3 2=\frac {\sqrt 3} 2\tan u(|u|<\frac {\pi} 2)
((x−23)2+43)2,令x−23=23tanu(∣u∣<2π)
=
(
3
4
sec
2
u
)
2
=
9
1
6
sec
4
u
(\frac 3 4 \sec^2 u)^2=\frac 9 16\sec^4 u
(43sec2u)2=196sec4u
d
x
=
3
2
s
e
c
2
u
d
u
dx=\frac {\sqrt 3}2sec^2 udu
dx=23sec2udu
当
x
=
0
时，
u
=
−
π
3
;
当
x
=
3
时，
u
=
π
3
当x=0时，u=-\frac {\pi} 3;当x=3时，u=\frac {\pi} 3
当x=0时，u=−3π;当x=3时，u=3π
原式=
∫
−
π
3
π
3
分子
16
9
3
2
cos
2
u
d
u
\int_{-\frac \pi 3}^{\frac \pi 3} 分子\frac {16} 9\frac {\sqrt 3} 2\cos^2udu
∫−3π3π分子91623cos2udu
分子：
3
4
t
a
n
2
u
+
3
3
2
tan
u
+
9
4
\frac 3 4 tan^2 u + 3\frac {\sqrt 3}2 \tan u + \frac 9 4
43tan2u+323tanu+49
tan
u
cos
2
x
\tan u\cos^2 x
tanucos2x 是奇函数，上下限是相反数，故积分抵消了。第一项和第三项是偶函数，故：
8
3
3
2
∫
0
π
÷
3
(
3
4
tan
2
u
+
9
4
)
cos
2
u
d
u
\frac 8 {3\sqrt 3}2\int_0^{\pi \div 3}(\frac 3 4 \tan^2 u+ \frac 9 4)\cos^2 udu
3382∫0π÷3(43tan2u+49)cos2udu
=
4
3
∫
0
π
÷
3
(
s
i
n
2
x
+
3
cos
2
x
)
=\frac 4 {\sqrt 3}\int_0^{\pi \div 3}(sin^2 x+3\cos^2 x)
=34∫0π÷3(sin2x+3cos2x)
=
4
3
∫
0
π
÷
3
(
2
+
cos
2
u
)
d
u
=\frac 4 {\sqrt 3}\int_0^{\pi \div 3}(2+\cos 2u)du
=34∫0π÷3(2+cos2u)du
=
4
3
[
2
u
+
1
2
sin
2
u
]
0
π
÷
3
=\frac 4 {\sqrt 3}[2u+\frac 1 2 \sin 2u]_0^{\pi \div 3}
=34[2u+21sin2u]0π÷3
=
8
π
3
3
+
1
=\frac {8\pi} {3\sqrt 3}+1
=338π+1
定积分的分部积分法
∫
a
b
u
v
′
d
x
=
[
u
v
]
a
b
−
∫
a
b
v
u
′
d
x
\int^b_auv'dx=[uv]^b_a-\int^b_avu'dx
∫abuv′dx=[uv]ab−∫abvu′dx或
∫
a
b
u
d
v
=
[
v
u
]
a
b
−
∫
a
b
v
d
u
\int^b_audv=[vu]^b_a-\int^b_avdu
∫abudv=[vu]ab−∫abvdu
和不同积分大同小异。
例12：
I
n
=
∫
0
π
÷
2
sin
n
x
d
x
(
=
∫
0
π
÷
2
cos
n
x
d
x
)
I_n=\int_0^{\pi \div 2}\sin^n xdx(=\int_0^{\pi \div 2}\cos^n xdx)
In=∫0π÷2sinnxdx(=∫0π÷2cosnxdx)
=
{
n
−
1
n
n
−
3
n
−
2
⋯
1
2
π
2
n
为正偶数
n
−
1
n
n
−
3
n
−
2
⋯
2
3
n
为大于
1
的正奇数
=\begin{cases} \frac {n-1}n\frac{n-3}{n-2}\cdots \frac 1 2 \frac {\pi} 2 & n为正偶数\\ \frac {n-1}n\frac{n-3}{n-2}\cdots \frac 2 3 & n为大于1的正奇数\\ \end{cases}
={nn−1n−2n−3⋯212πnn−1n−2n−3⋯32n为正偶数n为大于1的正奇数
令n
≥
3
\geq 3
≥3
I
n
=
−
sin
n
−
1
x
d
(
cos
x
)
I_n=-\sin^{n-1}xd(\cos x)
In=−sinn−1xd(cosx) 换元法
=
−
s
i
n
n
−
1
x
cos
x
∣
0
π
÷
2
+
∫
0
π
÷
2
cos
x
d
(
s
i
n
n
−
1
x
)
=-sin^{n-1}x\cos x|_0^{\pi \div 2}+\int_0^{\pi \div 2} \cos xd(sin^{n-1}x)
=−sinn−1xcosx∣0π÷2+∫0π÷2cosxd(sinn−1x) 第一项为0，
sin
0
和
s
i
n
90
。
都为
0
\sin 0和 sin 90^。都为0
sin0和sin90。都为0
=
(
n
−
1
)
∫
0
π
÷
2
s
i
n
n
−
2
x
cos
x
cos
x
d
x
=(n-1)\int_0^{\pi \div 2}sin^{n-2}x\cos x \cos x dx
=(n−1)∫0π÷2sinn−2xcosxcosxdx
=
(
n
−
1
)
∫
0
π
÷
2
s
i
n
n
−
2
x
−
(
n
−
1
)
∫
0
π
÷
2
s
i
n
n
x
d
x
因为
cos
2
x
=
1
−
sin
2
x
=(n-1)\int_0^{\pi \div 2}sin^{n-2}x-(n-1)\int_0^{\pi \div 2}sin^nxdx 因为\cos^2x=1-\sin^2x
=(n−1)∫0π÷2sinn−2x−(n−1)∫0π÷2sinnxdx因为cos2x=1−sin2x
=
(
n
−
1
)
I
n
−
2
−
(
n
−
1
)
I
n
=(n-1)I_{n-2}-(n-1)I_n
=(n−1)In−2−(n−1)In
即：
n
I
n
=
(
n
−
1
)
I
n
−
2
nI_n=(n-1)I_{n-2}
nIn=(n−1)In−2
→
I
n
=
n
−
1
n
I
n
−
2
\to I_n=\frac {n-1}n I_{n-2}
→In=nn−1In−2
∫
0
π
÷
2
sin
x
d
x
=
−
cos
x
∣
0
π
÷
2
=
1
，即
I
1
=
1
\int_0^{\pi \div 2}\sin xdx=-\cos x|_0^{\pi \div 2}=1，即I_1=1
∫0π÷2sinxdx=−cosx∣0π÷2=1，即I1=1
∫
0
π
÷
2
s
i
n
2
x
d
x
=
s
i
n
2
x
x
∣
0
π
÷
2
−
∫
0
π
÷
2
x
d
(
s
i
n
2
x
)
\int_0^{\pi \div 2}sin^2xdx=sin^2xx|_0^{\pi \div 2}-\int_0^{\pi \div 2}xd(sin^2x)
∫0π÷2sin2xdx=sin2xx∣0π÷2−∫0π÷2xd(sin2x)
=
π
÷
2
−
∫
0
π
÷
2
2
x
sin
x
cos
x
\pi \div 2-\int_0^{\pi \div 2}2x\sin x\cos x
π÷2−∫0π÷22xsinxcosx
=
π
÷
2
\pi \div 2
π÷2
即
I
2
=
π
÷
2
I_2=\pi \div 2
I2=π÷2
典型应用
求圆的面积：
根据函数连续的特征：一笔画，圆和正弦曲线都是连续函数。
将半径为r的圆移动到坐标系原点，我们求第一象限的四分之一圆的面积，在第一象限：
y=
r
2
−
x
2
,
0
≤
x
≤
r
\sqrt{r^2-x^2},0\le x \le r
r2−x2,0≤x≤r
我们令
x
=
r
sin
t
,
0
≤
t
≤
π
÷
2
，
d
x
=
r
cos
t
d
t
x=r\sin t,0 \le t \le \pi \div 2，dx=r\cos t dt
x=rsint,0≤t≤π÷2，dx=rcostdt
故：F(x)=
∫
r
2
−
x
2
d
x
=
∫
r
1
−
s
i
n
2
t
r
cos
t
d
t
=
∫
r
2
cos
t
cos
t
d
t
\int \sqrt{r^2-x^2}dx=\int r\sqrt{1-sin^2t}r\cos t dt=\int r^2\cos t\cos t dt
∫r2−x2dx=∫r1−sin2trcostdt=∫r2costcostdt
=
r
2
2
∫
(
1
+
cos
2
t
)
d
t
\frac {r^2} 2\int(1+\cos 2t) dt
2r2∫(1+cos2t)dt 根据三角函数
=
r
2
4
∫
(
1
+
cos
2
t
)
d
(
2
t
)
\frac {r^2} 4 \int(1+\cos 2t)d(2t)
4r2∫(1+cos2t)d(2t)
=
r
2
4
(
2
t
+
sin
2
t
)
+
C
\frac {r^2} 4 (2t+\sin 2t)+C
4r2(2t+sin2t)+C
故四分之一圆的面积为：
F
(
π
)
−
F
(
0
)
=
r
2
4
(
π
+
sin
π
−
0
−
sin
0
)
=
π
r
2
4
F(\pi)-F(0)=\frac {r^2} 4 (\pi+\sin \pi-0-\sin 0)=\frac{\pi r^2} 4
F(π)−F(0)=4r2(π+sinπ−0−sin0)=4πr2
故圆的面积是
π
r
r
\pi r r
πrr。
求圆的周长
半径为r的周长：
A
r
e
a
(
r
+
Δ
)
−
A
r
e
a
(
r
)
Δ
\frac {Area(r+\Delta)-Area(r)}{\Delta}
ΔArea(r+Δ)−Area(r)就是圆面积的导数
2
π
r
2\pi r
2πr
扩展阅读
| 我想对大家说的话 |
|---|
| 亲士工具箱：支持AutoCad2013及以上 |
| 工作中遇到的问题，可以按类别查阅鄙人的算法文章，请点击《算法与数据汇总》。 |
| 学习算法：按章节学习《喜缺全书算法册》，大量的题目和测试用例，打包下载。重视操作 |
| 活到老，学到老。明朝中后期，大约50%的进士能当上堂官(副部及更高)；能当上堂官的举人只有十余人。 |
| 子墨子言之：事无终始，无务多业。也就是我们常说的专业的人做专业的事。 |
视频课程
先学简单的课程，请移步CSDN学院，听白银讲师（也就是鄙人）的讲解。
https://edu.csdn.net/course/detail/38771
如何你想快速形成战斗了，为老板分忧，请学习C#入职培训、C++入职培训等课程
https://edu.csdn.net/lecturer/6176
测试环境
操作系统：win7 开发环境： VS2019 C++17
或者 操作系统：win10 开发环境： VS2022 C++17
如无特殊说明，本算法用**C++**实现。
原文地址：https://blog.csdn.net/he_zhidan/article/details/159130575
免责声明：本站文章内容转载自网络资源，如侵犯了原著者的合法权益，可联系本站删除。更多内容请关注自学内容网（zxcms.com）！